Логорифм туралы жалпы түсінік

Шымкент Аграрлық колледжі
Вф9-172 тобы студенті: Ешмырза Балжан
Жетекшісі: математика пәні мұғалімі
Зарипова Ұлжалғас

 

Мазмұны:
1. Логарифм тарихы
2. Логарифм туралы түсінік
3. Логарифмнің түрлері
4. Логарифмнің қасиеттері
5. Логарифмдік функция және оның қасиеті мен графигі.
6. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер

Есептеу тәсілдерін жетілдіру XVII ғасырдың өзекті сұрақтарының бірі болып табылды. XVI ғасырдың екінші жартысында сауда жасау географиясын кеңейту үшін Англия, Франция, Голландия сияқты мемлекеттерге қарапайым есептеулер жүргізетін инженерлер мен «арифметиктерге» деген үлкен сұраныс болды. Логарифмді ойлап табу – есептеу техникасының үлкен жетістігі. Күрделі тригонометриялық кестелермен жұмыс істеуді жеңілдету мақсатында XVI ғасырдағы кейбір математиктер арифметикалық және геометриялық прогрессияларды салыстырумен айналысты. Осы бағытта үлкен жетістіктерге қол жеткізген – шотландық математигі 1614 жылы Джон Непер логарифм кестесін ойлап тапқан болатын. Логарим белгісінің алғашқы нұсқасы log белгілеуін 1624 жылы неміс астраномы Иоганн Кеплер. Логарифмдік сызғыш жайлы да айта кетейін.

Гунтер логарифмдік сызғыш ойлап тапты.

Логарифм (грекше logos — қатынас және arіthmos — сан). Логарифм белгіленуі: log. Логарифмнің жалпы түрі: Log_ab . Логарифм түрлері: ондық lg және ln натурал логарифм жайлы да айтуға болады. е саны иррационал сан, e≈2.718.

Аңықтама.

b санының a негізі бойынша логарифмі деп x санын атаймыз және бұл санды log_a b деп белгілейміз:

a^x =b, x= log_a b.

2³=8 теңдігінде 3 дәреже көрсеткіш, ал 8 шығу үшін негізі екіні үш дәрежеге шығару керектігін білдіреді.

Мысал:

5⁰=0     (1/3)²=1/9      3^-2=1/9

Анықтама: N санының а негізі бойынша логарифмі деп N саны табылатындай а санының дәреже көрсеткішін айтады. Негізі а болғандағы а санының логарифмі log_a N символымен белгіленеді.

Негізі 10 болғанда log₁₀ N=lgN - ондық логарифм деп аталады.

е болғанда log_e M=lgM - натурал логарифм деп аталады.

Логарифмдердің қасиеттері:

 

 

Логарифмдік функция және оның қасиеті мен графигі.

Анықтама:  y=log_ax (a>0, a≠1) формуласымен берілген функцияны логарифмдік функция деп аталады.

Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттері:

1. Логарифмдік функцияның анықталу облысы - барлық оң сандар жиыны R₊, яғни D(log_a)=R₊

Шынында да алдыңғыда атап көрсетілгендей, әрбір оң x санының а негізі бойынша логарифмі бар болады.

2. Логарифмдік функцияның мәндерінің облысы – барлық нақты сандар жиыны.

Шынында да, логарифмнің анықтамасы бойынша кез келген нақты y үшін мына теңдік орындалады:

log_a(a^y)=y               

яғни y=log_ax функциясы x₀=a^y0 нүктесінде y₀ мәнін қабылдайды.

3. Логарифмдік функция бүкіл анықталу облысында өседі,(a>1 болғанда), не кемиді (0<a<1 болғанда) 

Логарифмдік функциялардың қасиеттері қолданылатын мысалдар.

1-мысал. Мына функцияның анықталу облысын табайық: f(x)=log₈(4-5x)

Логарифмдік функцияның анықталу облысы R₊ - жиыны. Сондықтан берілген функция тек 4-5x>0 шарты орындалатындай x мәндерінде анықталған, яғни x<0.8. Олай болса, берілген функцияның анықталу облысы (-∾, 0.8) интервалы.

2-мысал. Мына функцияның анықталу облысын табайық. f(x)=log₂(x²-3x-4)  

Алдыңғы мысалдағы сияқты, f функциясы x²-3x-4>0 шарты орындалатындай барлық x мәндерінде анықталған. Осы квадрат теңсіздікті шешіп, D(f)  дегеніміз (-∾,-1)Ú(4,+∾) интервалдарының бірігуі екенін табамыз.

Мысалы: y=log₃x және y=log₅x функцияларының графигін салу керек.

Шешуі: 

1)  y=log₃x

х	1/9	1/3	1	3	9
у	-2	-1	0	1	2

                                                                                                           

2) y=log₅x

х	1/25	1/5	1	5	25
у	-2	-1	0	1	2

Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер және оларды шешу.

Анықтама: Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде болатын теңднуді логарифмдік теңдеу деп атаймыз. Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық log_ax=b. Логарифмдік функция (0,∾) аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты мәндерді қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады. Санның логарифмінің анықтамасы бойынша a^b саны сол шешім екендігі бірден табылады. Логарифмдік теңдеулерді шешудің бірнеше әдістері бар:

1. Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер. 

Мысал - . log_x(x³-5x+10)=3 теңдеуін шешейік.
Шешуі: Логарифмнің анықтамасы бойынша x³-5x+10=x³, онда бұл теңдеудің шешімі  x=2.
Табылған айнымалының мәнін теңдеуге қойып тексереміз:
log₂(2³-5*2+10)=log₂8=log₂2³=3log₂2=3
Демек, x=3 мәні теңдеуді қанағаттандырады.              
Жауабы: x=2.

2. Потенциалдауды қолдану арқылы логарифмдік теңдеулерді шешу. Жаңа айнымалы енгізу әдісі. Мүшелеп логарифмдеу әдісі. 

3. Жаңа айнымалы енгізу әдісі.

4. Мүшелеп логарифмдеу әдісі.

x^log₂x-2=8 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 

Берілген теңдеуді былай жазайық: x^log₂x*x^-2=8 немесе  x^log₂x=8x²

Шыққан теңдеуді негізін 2 – ге тең етіп логарифмдейік:

log₂x*log₂x=log₂8+log₂x²

log²₂x=3+2log₂x

log²₂x-2log₂x-3=0

Демек, 

1) log₂x=3, осыдан x₁=8

2) log₂x=-1, осыдан x₂=1/2.

Тексеру:

1) 8^log₂8-2=8 немесе 8^3-2=8,  8=8.

2) (1/2)^{log₂(1/2)​-2}=8 немесе (1/2)^-3=8, 8=8.

Жауабы: x₁=8; x₂=1/2.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Алгебра және анализ бастамалары. 11-сыныпқа арналған оқулық. Алматы «Атамұра» 2007ж.
2. Ш.Бекбаулиева, Қ.И.Қаңлыбаева. Алгебра және анализге кіріспе. «Ана тілі» Алматы 1991ж.
3. А.Әбілқасымова, Р.Кудакова. Алгебра және анализ бастамалары. «Ана тілі» Алматы 1991ж.
4. А.Н Колмогоров. Алгебра және анализ бастамалары 10-11 сыныпқа арналған оқулық. «Рауан» Алматы 1998ж.
5. А.Әбілқасымова. Алгебра және анализ бастамалары 10 сыныпқа арналған оқулық. «Мектеп» Алматы 2009ж.
6. А.Әбілқасымова Алгебра және анализ бастамалары 11 сыныпқа арналған оқулық. «Мектеп» Алматы 2007ж.

---

Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз: