Синуслар теоремиси

Алматы облысы Ұйғыр ауданы Долайты орта мектебінің математика пәні мұғалімі  Даутова Махирям  Телебалдыевна

 Геометрия

Дәрис мавзуси: Синуслар теоремиси

Дәрис мәхсити: 1) Оқуғучиларға синуслар теоремисини чүшәндүрүш;

                            2) Оқуғучиларниң есап чиқириш маһаритини ашуруш

                           3) Оқуғучиларни әмгәк тәрбийәсигә тәрбийләш

Дәрисниң типи: Йеңи билимни өзләштүрүш

Дәрисниң усуни: чүшәндүрүш, соалға – жавап.

Пәнләр ара бағлиниши: тәбиәт, уйғур тили.

Көрнәклик қурал: сизғуч, фигурлар, карточкилар

Қолланған әдәбийәт: геометрия. 9-синип. С.Шәкиликова, Ж.Нурпейис, Ғ.Қалдыбаева

Дәрисниң бериши.

І .Уюштуруш.

ІІ . Өй тапшурмисини  тәкшүрүш    №285

ІІІ. Өткән материаллар бойича тәкрарлаш.

1. Еғизчә һесап
2. Карточка билән иш

ІV. Нәтижиләш.

       Оқуғучиларниң жавави бойичә йәкүнләймән.

V.  Йеңи материалға чүшүнүк.

      Синуслар теоремисини чүшәндүримән

18 - т е о р е м а (синуслар теоремиси). Уч6улуңлуқниң  тәрәплири  қарuму-қаршu ятқан булуңларнuң синуслириға пропорционал болиду.

   И с п а т л а ш . Һәр қандақ АВС үчбулуңлуғи берилсун (58-сурәт). Учбулуңлуқниң тәрәплирини а,b, с һәриплири билән бәлгүләп,

 

                                                     sinα = sinβ = sinγ

                                                  а         b           с

тәңлигини  испатлаш керәк.

    А чоққисидин АН егизлигини чүширип, тикбулуңлуқ АНС учбулуңлуғини қараштуримиз.       

    Әгәр у тар булуң болса, у чағда:

 

                                               АН = b sinγ.                                                   (1)

 

   Әгәр γ кәң булуң болса, у чағда АН = b sin(180° - γ), демәк, АН = b sinγ (59-сүрәт).

   Мошуниңға охшаш АВН учбулуңлуғидин:

                                          АН = с sinβ.                                                                  (2)

 

(1) вә (2) тәңликләрдин:   b sinγ = с sinβ, буниңдин

 

                                                 sinγ = sinβ .                                                              (3)

                                                  c          b       

   С чоққисидин АВ тәрипигә егизлик чүширип, жуқуридикидәк испатлаш жүргүзүп, мону нисбәтни алимиз:

 

                                                sinβ  =  sinα

                                                  b           a                                                                  (4)

 

(3) вә (4) нисбәтләрни бириктүрүп, мону түрдә язимиз:

 

                                                                      sinα = sinβ = sinγ

                                                а         b           с                                                         (5)

 

Теорема испатланди.

  А қ и в ә т. Уч6улуңлуқниң узун тәрипигә қаршu чоң булуң вә әкcuчә, чоң булуңига қарши узун тәрәп яmuду.

 

 

   И с п а т л а ш . Әгәр a > b болса, у чағда α > β  тәңсизлиги, әксичә α > β болса, у чағда  a > b тәңсизлиги орунлинидиғанлиғини испатлаш керәк.

    Һәқиқәтәнму, (5) тәңликтин

 

                                                      sinα =  а

                                                 sinβ      b                                                                  (6)

 

a > b тәңсизлигидин   > 1 тәңсизлиги чиқиду, бу тәңсизликни алдинқи нисбәткә қойсақ: sinα  > 1,

                                                                                                                                              sinβ  буниңдин: sinα > sinβ, демәк, α > β.

    Әксичиму дурус, әгәр α > β  болса, у чағда sinα > sinβ, буниңдин  sinα  > 1, бу тәңсизлик вә (6)

                                                                                                                     sinβ  

тәңликни әскә алсақ,  > 1 буниңдин a > b. Ақивәт испатланди.

Синуслар теоремисиниң умумий түри.

Адәттә, геометрия дәрис­ликлиридә синуслар теоремиси қисқартилған (5) формула түридә 6ерилидудә, у синуслар  теоремисиниң қоллинилишини чәкләйду. Шуниң үчүн синуслар теоремисини умумий түрдә беримиз.

Те о р е м а. Әгәр АВС үчбулуңлуғиға тешидин сизған чәмбәрниң радuусu R болса. у чағда мону нисбәт орунлиниду:

                                              =  =  = 2R

 

Испатлаш. АВС үчбулуңлуғиға тешидин сизилған чәмбәрниң радиуси R (60, а, ә-сүрәтләр), мәркизи О чекити болсун. DС диаметрини жүргүзимиз.

60, а-сүрәттә  BDC =  ВАС,сәвәви бу D вә А булуңлириниң һәр иккилиси ВС доғисиға тирилиду. DBC булуңи тик, сәвәви В булуңи DC диаметриға (DAC доғисиға) тирилиду, демәк, тик булуңлуқ BDC үчбулуңлуғида

                                               ВС

——= sinD

 DC

яки

                                                a                        a

                                             —— = sinD  ——=2R.

                                               2R                    sinD

Әгәр sinD = sinА тәңлигини әскә алсақ, у чағда

                                                a                       

                                              ——=2R.

                                              sinА

60, ә-сүрәттә чәмбәргә ичидин сизилған АВDС төртбулуңлуғида

                                           ВАС + ВDС = 180`

буниңдин

                                          ВDС = 180` —  ВАС.

DВС үчбулуңлиғи тик булуңлуқ үчбулуңлуқ, сәвәви DС диаметриға тирилидиған DВС булуңи тик, ундақ болса                   ВС

——= sinD

 DC

яки

                                                a                        

                                             —— = sin(180` —  ВАС).

                                               2R                   

Әгәр sin(180` —  ВАС) = sinA кәлтүрүш формулисини әскә алсақ, у чағда

 

                                                a                       

                                              ——=2R.

                                              sinА

 

    АВС үчбулуңлуғиниң  А  6улуңидин башқа В вә С булуңли­риғиму мошу испатлашни қоллинип, келәси тәңликләрни алимиз:

           

                                                b                 c 

                                              ——=2R,  —— =2R.

                                              sinB           sinC

 

    Мошу испатланған формулиларни бириктүрүп, синуслар теоремисиниң умумий түрини алимиз:

                                                a           b          c

                                             —— = —— = ——=2R.

                                             sinA      sinB    sinC

 

Теорема испатланди.

 

VI. Һесап чиқириш

№185

Берилди:       АВСD – параллелограмм                              

                      АС = 12                                                   

                      ВАС = 62º

                     СAD = 18º

Тепиш керәк: АD = ?                                                                      B                                                  C

                        CD = ?                                                                         

Йешилиши:

АВСD – параллелограмм                                                                     12см   

АС = 12 см                                                                                                                                

 ВАС = 62º                                                                           62º

СAD = 18º                                                                                 18º

 АСD =  ВАС = 62º                                             A                                                       D

 АСD = 180º — 62º — 18º = 100º

 =  =  , яки   =   =    

 

AD =  =   ;  CD =  =   

 

Жавави:  ;  

 

№281                                                                                     B                                                  C

Берилди:       АВСD – параллелограмм                              

                      АС, BD – диагональлири                                                     

Испатлаш: AC>BD

Йешилиши:

      АВСD – параллелограмм                              

     АС, BD – диагональлири                                                     

     AB║CD ; BC║AD                                             A                                                     D

     AC>BD

№275                                                                                                                  B

1)Берилди:         АВС                                                                                                                                    

                           ВС = 6см                                                                                                             

                          A = 60º                                                                                c b                        

                          B = 45º

Тепиш керәк:   АС = ?                                                                              A     C

Йешилиши:                                                                                                                   a                                                                           

 =                                                                                                                   

 

 =                                                              

 

a =  =  =  = 6,5            Жавави: АВ = 6,5 см     

№282

1)Берилди:         АВС                            Тепиш керәк: АВ = ?                                                                                                         

                           ВС = 5см                                                АС = ?                                                              

                          В = 30º                                                 А = ?                                          

                          С = 45º

Йешилиши:  А = 180º—(30º + 45º) = 105º

 =                                                                =

 

 =                                                               =

 

АС =  =  =  = 7,07                   AB =  =

 

 

2)Берилди:    АВС                                         Тепиш керәк: АВ = ?                                                                                                

                        AС = 4,5см                                                        BС = ?                                                             

                         = 30º                                                            = ?                                     

                        С = 75º

Йешилиши:  B = 180º—(30º + 75º) = 75º

 

 =                                                            =   

 

 =                                                            =

 

BC =  =  =  = 8,693             AB =  = 8,693

 

3)Берилди:         АВС                            Тепиш керәк: АВ = ?                                                                                                         

                           ВС = 3,5см                                             АС = ?                                                              

                          В = 40º                                                 А = ?                                          

                          С = 120º

Йешилиши:  А = 180º—(40º +120º) =20º

 =                                                                =

 

 =                                                               =

 

АС =  =  =  = 4,715              AB =  =  

 

VІІ. Дидактикалиқ материал бойичә һесап чиқириш.

 a=7, b=23, =130º         α, β, c=?

c= =  =  ≈28

cosα=       α=11º

VІІІ. Нәтижиләш. Оқуғучилар чиқарған һесаплири бойичә йәкунләймән.

ІХ.Өйгә тапшурма. §20. № 283                                                                                         

---