e саны

Оңтүстік Қазақстан облысы Мақтарал ауданы Жетісай қаласы
«№119 жалпы орта мектебі» кмм
математика пәні мұғалімі: Тулбасиева Улжалғас Исмайловна

Сабақтың тақырыбы: e саны

Оқу мақсаты: е санының дәлелдеуін және сан тізбегінің шегін таба білу, есептер шығаруда қолдану; оқушыларды ұқыптылыққа тәрбиелеу, еңбекке баулу: е санын есептер шығаруда қолдану арқылы логикалық ойлау шеберліктерін шыңдау.

Сабақтың түрі: жаңа тақырыпты игеру

Сабақтың көрнекілігі: оқу құралдары, тарату материалдары, слайдтар.

Әдебиет: К.Е.Толымбекова, Р.Ж. Хасенова.

“Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер”.

Н.Я.Виленкин “Алгебра және математикалық анализ”. 10 - сынып.

Сабақтың барысы:

е санының дәлелдеуі:

1. n =  өрнегімен анықталатын сан тізбегін қарастырайық. Осы тізбектің алғашқы бірнеше мүшелерінің шамасын анықтайық.

1 =  = 2; 2 =  = 2.25; 3 =  = 2.37;

4 =  = 2.441; 5 =  = 2.488… .

Тізбектің алғашқы мүшелерінің шамасына қарап өспелі тізбек деуге болады. Бірақ бұл толық дәлел емес, тізбектің бір сарынды өспелі тізбек екенін дәлелдейік. Ол үшін белгілі Коши теңсіздігін пайдаланайық. Теріс емес n бүтін сандар үшін     ≥  теңсіздігі орындалатын білеміз                . және 1 сандарын  алып, Коши

                 n рет

теңсіздігін пайдаланайық: >

>    > теңсіздіктің екі жағын (n+1) дәрежеге шығарсақ: > >

n =  тізбегі үшін n+1 > n  теңсіздігі кез келген n N үшін орындалады.  Демек   1 < 2< 3 <  4 … < n  < n+1…;

n =ізбегінің монотонды өспелі екенін дәлелдедік.

2.  2 < 3, мұндағы 2 теңсіздігі айқын , себебі 1=.

        Ньютон  биномының формуласы бойынша

= 1 + n  +    + +… + = 1+1 + +  +…+… < 2+ + + … + <

2 + + + … + = 2 + = 2+1 - = 3 -

Сонымен  2 < 3 екені дәлелденді. Мұнда < , < , …

<  екендігі ескерілді. Бізге белгілі Вейерштрасс теоремасы бойынша кез келген монотонды және шектелген тізбектің шегі бар болады.

Демек, шегі табылады

= 0 ≈ 2,718281…;

= e. (*) Тізбектің шегі ретінде алынған e саны иррационал сан, оның 0,01 дейінгі дәлдікпен алынған жуық мәні e ≈ 2,72.

Осы тізбектің шегін e саны деп белгілеуші және жуық мәнін есептеген Леонард Эйлер. Ол кісі (1707-1783ж ж.) өмір сүрген математик, механик, физик, және астроном. Швецарияның ұлы ғалымы

Сонымен (*) формуласы тізбек үшін дәлелденді, яғни n N мәндері үшін дәлелденді. Енді осы формуладағы  n-ді  кез келген нақты сандар жиынында өзгеретін айнымалы  X  пен алмастырсақ , x өрнегін шегі де e саны болатындығын дәлелдейік, яғни   формуласының орындалатынын көрсетейік

Айнымалы x ұмтылсын. Онда бұл айнымалының әрбір мәні екі оң бүтін сандардың арасында  орналасады ,яғни Осыдан немесе Шыққан теңсіздіктің барлық мүшесіне 1-ді қоссақ:  теңсіздігі шығады. Осыдан (**). Егер x, онда n. Енді және шектерін табайық.

= = = = e

* = e*1=e

Сонымен n ұмтылғанда (**) теңсіздігінің оң жағында тұрған өрнектің де, сол жағында тұрған өрнектің де шегі e-ге тең болды.  = e;

xұмтылғанда да осы формула орындалады. деп алмастырсақ, онда =   = e себебі x үшін -ге ұмтылады.

Сонымен, е саны бір-біріне эквивалентті мына шектермен анықталады:

1. 

2. = e

3. = e

Математикалық анализде е саны жиі қолданылады. Көрсеткіштік функцияның негізі е санын алсақ, онда  y= функциясы шығады. e>1  болғандықтан, барлық мәнінде функция өспелі болады.

логарифмдік функцияның негізі ретінде е санын алсақ, онда ол функцияны натурал логарифм деп атайды және деп белгілейді.

    Математикалық анализде натурал логарифмдік функция жиі қолданылды. y=lnx;  x>0. Монотонды өспелі функция.

Мысалдар. Мына шектерді есептелік:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Үй тапсырмасы:

Шектерді есепте:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Екінші тамаша шек,  е саны ұғымын қайталау.

Оқушылардың білімін бағалау.

Сабақты қорытындылау.

---