Қошуш формулилири

Алматы облысы, Ұйғыр ауданы
"Долайты орта мектебі" КММ-сінің
математика және физика пәні мұғалімі
Даутова Махирям Телебалдыевна

9"ә" синип                                    Алгебра                                                                                     

Дәрис мавзу си: Қошуш формулилири

Дәрис мәхсити: Қошуш формулилирини чүшәндүрүш; оқуғучиларниң есап чиқириш маһаритини ашуруш; оқуғучиларни уюшчанлиққа, коллективлиқ тәрбийләш

Дәрисниң типи: йеңи билимни өзләштүрүш

Дәрисниң усуни: чүшәндүрүш, соалға–жавап.

Пәнләр ара бағлиниши: тәбиәт, уйғур тили.

Көрнәклик қурал: таблица, карточкилар

Қолланған әдәбийәт: алгебра. 9-синип. А.Әбилқасымова, И.Бекбоев,А.Абдиева, З.Жумағулова

Дәрисниң бериши.

І. Уюштуруш.

ІІ. Өй тапшурмисини тәкшүрүш

§. №

ІІІ. Өткән материаллар бойича тәкрарлаш.

1. Еғизчә һесап
2. Карточка билән иш

ІV. Нәтижиләш.

Оқуғучиларниң жавави бойичә йәкүнләймән.

V.  Йеңи материалға чүшүнүк.

Қошуш формулилири

Мәзкүр мавзуни оқуш жәриянида силәр немини үгинисиләр?

Мошу мавзуни өзләштүрүп, икки булуңниң қошиндиси вә айримисидики тригонометриялик функцияләрниң формулилирини билисиләр, мошу формулиларни тригонометриялик функцияләрни тәңму-тәң түрләндүрүш жәрuянuда қоллинишни үгинисиләр.

Мошу кәмгичә бир аргументқа бағлиқ тригонометриялик функ­цияләрниң арисидики нисбәтләрни беридиған формулиларни вә кәл­түрүш формулилирини қараштурдуқ. Улардин башқа тригономет­риядә қошуш формулиси дәп атилидиған формулилар кәң қоллинилиду.

Ениқлима. Икки булуңнuң қошундиси вә айримисиниң три­гонометриялик функциялирини шу булуңларнuң тригонометрия­лик финкциялири арқилиқ ипадиләйдиған формулиларни қошуш формилилири дәп атайду.

Алди билән тригонометриялик функ­цияләр арқилиқ икки булуңниң айрими­ниң косинусиниң формулисини чиқирай­ли. Униң үчүн, адәттикидәк, радиуси R=ОА болидиған, мәркизи тик булуң­луқ координата системисиниң башлини­шида орунлашқан чәмбәрни қараш­турайли (55-сүрәт).

ОА дәсләпки радиусини О чекитини айландуруп α вә β булуңлириға бураймиз. Нәтижидә, ОВ вә ОС радиуслириға мувапиқ келидиған ОА радиусиниң В вә С чекитлиридики орунлишиш hаләтлирини алимиз. Әгәр В чекитиниң координатилири х₁ вә у_1, әнди С чекитиниң координатилири х₂ вә у₂ болса, у чағда векторлириниң координатилири мувапиқ  болидиғанлиғи геометрия курсидин бәлгүлүк.

Әнди ОВ вә ОС векторлириниң скаляр көпәйтиндисини тапайли. Мошу икки векторниң скаляр көпөйтиндисини геометрия курсидин бәлгүлүк тәңлик билән йезишқа болиду:

                                (1)

α вә β булуңлириниң синус вә косинусиниң ениқлимилири бойичә монуни елишқа болиду:

яки

x₁= Rcosα, y₁= Rsinα, x₂= Rcosβ, y₂= Rsinβ.

Мошу мәналарни (1) тәңликкә қойғанда келәси тәңлик чиқиду:

 = R²cosαcosβ + R²sinαsinβ = R² (cosαcosβ+sinαsinβ).

Шунда

 = R² (cosαcosβ+sinαsinβ).       (2)

(2) формулиниң оң тәрәп бөлигигә икки векторниң скаляр көпәйтиндиси тоғрилиқ теоремини қоллинип, уни мундақ язимиз:

 (3)

векторлириниң арисидики булуң ВОС булуңи яки α – β ға тәң булуң болуп hесаплиниду (56-сүрәт). Бирақ умумий түрдә ОВ вә ОС булуңлириниң арисидики ВОС булуңи α – β яки 2 ға тәң яки толуқ булуңға һәссилик болидиған миқдарғила пәрқи болуши мүмкин (56-сүрәт).

Шуниң үчүн барлиқ hаләтләрдә cos

Ахирқи тәңликни қоллинип вә // = // = R векторлирини әскә елип, (3) тәңликтин:    ٠  = R٠Rcos(α – β)

яки

                         ٠  = R² cos(α – β)                 (4)

алимиз.

(2) вә (4) тәңликлириниң сол тәрәп бөләклири тәң болғанлиқтин, уларниң оң тәрәп бөләклирини тәңләштүримиз, шунда

R² cos(α – β) = R² (cosα cosβ + sinαsinβ)

Буниңдин

                    cos(α – β) = cosα cosβ + sinαsinβ        (5)

чиқиду. (5) формулини икки булуңниң айримисиниң косинуси дәп атайду.

Икки булуңниң айримисиниң косиниси мошу булуңларниң коси­нуслириниң көпәйтиндиси вә синуслириниң көпәйтиндисиниң кошун­дисиға тәң.

(5) формулини қоллинип, икки булуңниң кошундисиниң коси­нусини, йәни қошиндиниң косинусини  оңай тепишқа болиду. Униң үчүн α + β қошундисини айримиси түридә көрситәйли.

 

       cos(α+β) = cos  чүнки cos()=cosβ, sin(β)=sinβ, йәни косинусниң жүплиги вә синусниң тағлиги әскә елинған.

Шундақ қилип, қошиндиниң косинуси  дәп атилидиған формулини алдуқ:

                       cos(α + β) = cosα cosβ  sinαsinβ        (6)

Икки булуңниң қошиндисиниң косинуси мошу булуңларниң косинуслириниң көпәйтиндисигә вә синуслириниң көпәйтиндисиниң айримисиға тәң.

Әнди икки булуңниң қошундиси вә айримисиниң синусиниң форму­лисини чиқирайли. Униң үчүн (5) тәңликни вә кәлтүрүш формулисини қоллинайли. Шунда

sin(α+β) = cos, кәлтүрүш формулиси бойичә

 .

Шуниң үчүн

               sin(α + β) = sin α cosβ + cos α sin β        (7)

Икки булуңниң айримисиниң синуси биринчи булуңниң синусиниң иккинчи булуңниң косинусиға көпәйтиндиси вә биринчи булуңниң косинусиниң иккинчи булуңниң синусиға көпәйтиндисиниң қошундисиға тәң.

(7) формулини қоллинип, икки булуңниң айримисиниң синусиниң формулисини оңай йол билән тепишқа болиду.

Шуниң билән,

sin(α – β) = sin

чүнки

Шуниңдин

             =     (8)

Икки булуңниң айримисиниң синуси биринчи булуңниң синусиниң иккинчи булуңниң косинусиға көпәйтиндиси вә биринчи булуңниң косинусиниң иккинчи булуңниң синусиға көпәйтиндисиниң айримисиға тәң.

Әнди (5)-(8) вә синус билән косинус арқилиқ ипадилинидиған формулилирини қоллинип, тангенс вә котангенс  үчүн қошуш формулилирини чиқириш қийин әмәс.

Мисал үчүн қошундиниң тангенсиниң формулисини хуласиләп чиқирайли:

tg(α + β) = . Әнди cosα вә cosβ дәп елип, ахирқи кәсирниң сүрити билән мәхрижини cosα ٠ cosβға бөләйли. Шунда

        Демәк,   

                                 tg(α + β) =                    (9)

Дәл мошундақ икки булуңниң айримисиниң тангенсиниң формулисини  

мустәқил  испатлаңлар.

                                 tg(α  β) =                    (10)

 

(9) вә (10) формулиларни бириктүрүп, умумий турдә мунлақ йезишқа болиду:

                                              (11)

Икки усули билән қошундиниң  тангенси вә котангенсиниң    формулилириниң һәқиқийлигини мустәқил  испатлаңлар.

                                             (12)

 

1-мисал. Жәдвәлни пайдиланмай вә микрокалькуляторниң ярдимисиз cos 105º-ниң мәнасини тепиңлар.

Йешиш. Униң үчүн 105º-ни 60º + 45º қошундиси түридә язимиз. Шунда

cos105º =cos(60º + 45º)=cos60ºcos45º - sin60ºsin45º=

2-мисал. cos(α+β) – cos(α – β) ипадисини ихчамлайли.

Йешиш. Униң (5) вә (6) формулиларни қоллиниду. Шунда cos(α+β) – cos(α – β)=cosαβ – sinαsinβ – cosαcosβ – sinαsinβ = – 2sinαsinβ  

3-мисал. Әгәр  tgα = вә β тар булуңлар болса, у чағда α + β булуңлириниң қошундисини тапайли.

α + β қошундисини тепиш үчүн (9) қошундиниң тангенси формулисини қоллинимиз, у чағда 

tg(α + β) = .

tg(α + β) = 1 буниңдин  α + β = 45ºқа тәң.                    Жавави:45º.

 

VI. Һесап чиқириш. №

VІІ. Нәтижиләш. Оқуғучилар чиқарған һесаплири бойичә йәкунләймән.

VІІІ. Өйгә тапшурма. §

---