Чәмбәрниң узунлуғи

Алматы облысы Ұйғыр ауданы Долайты орта мектебінің математика пәні мұғалімі  Даутова Махирям  Телебалдыевна

 Чәмбәрниң узунлуғи

Алдинқи параграфта биз сунуқ сизиқ чушәнчиси билән тонуштуқ. Әгәр қандақту бир әгир сизиқниң чекитлирини кесиндиләр билән қошсақ, у чағда әгир сизиққа ичидин сизилған сунуқ сизиқни алимиз (75-сурәт).

Чәмбәр - әгир сизиқниң әң аддий түри вә чәмбәр - туюқ әгир сизиқ. Туюқ әгир сизиқниң узунлуғини hесаплаш үчүн унинға ичидин сунуқ сизиқ сизип, мошу сунуқ сизиқниң узунлуғини алиду. Әгәр сунуқ сизиқниң чоққилири қанчә йеқин орунлашса (76-сүрәт), йәни сунуқ сизиқниң звенолири көп болса. у чағда әгир сизиқниң узунлуғи шунчә дәл тепилиду. Адәттә, чәмбәр­ниң узунлуғини һесаплаш үчүн униңға ичидин дурус көпбулуңлуқлар сизип, бу дурус көпбулуңлуқларниң тәрәп­лири санини чәксиз өсириду, мошу сәвәптин n-булуңлуқ тәрәплириниң сани қанчә көп болғансири чәмбәр узунлуғи билән дурус n-булуңлуқниң периметриниң айримиси шунчә аз болиду.

Чәмбәрниң узунлуғини униң радиуси бәлгүлүк болғанда қандақ тепишқа болиду? Қедимқи замандин бери һесаплаш тәж,рибисидә чәмбәрниң узунлуғи униң R радиусиға, демек, униң d = 2R диаметригә пропорционал екәнлиги бәлгүләнгән, башқичә ейтқанда, әгәр С һә­рипи билән чәмбәрниң узунлуғини бәлгүлисәк, у чағда С = 2R, бу йәрдә  сани чәмбәр узунлуғи билән диаметрниң арисидики пропор­ционаллиқ коэффициенти вә  сани — иррационал сан, униң йеқинлашқан мәнаси:  = 3,1416….

Жуқуридики формулидин чәмбәрниң узунлуғини һесаплаш үчүн  санини билиш керәк екәнлигини байқаймиз, униң үчүн келәси теоремини испатлаймиз.

2 1 - т е о р е м а. Чәмбәрниң узунлуғи  униң  радиусиға  nроnoрцuонал, демәк, чәмбәр узунлугu билән униң диаметриниң нисбити һәр қандақ чәмбәр үчүн  бирдәк mурақлиқ сан.

И с па т л а ш . Радиуслири R₁ вә R₂ болидиған һәр қандақ Ч₁ вә Ч₂ чәмбәрлирини алайли (77 вә 78-сүрәтләр), бу чәмбәрниң узунлуқлири С₁ вә С₂ болсун. Ч₁ вә Ч₂  чәмбәрлирини ичидин сизилған Ғ₁ вә Ғ₂ дурус n-булуңлуқлириниң периметрлирини p_{1 ,} p₂  һәриплири билән бәлгүләйли, шу чағда

                                          =

тәңлигиниң орунлинидиғанлиғини испатлайли. Карши ж,оруп,     дәйли, мәсилән,     болсун. Әгәр F1 вә F2  көпбулуңлуғиниң тәрәплириниң санини, демәк, n санини қанчә чоңайтсақ, у чағда Ч_І вә Ч₂ чәмбәрлириниң С₁, С₂ узунлуқлири билән Ғ₁, Ғ₂ көпбулуңлуқлириниң p_{1 ,} p₂ периметрлириниң айримиси, демәк С₁— p₁ вә С₂— p₂ айримилири наһайити аз миқдар болиду (наһайити аз миқдар дегәнни төвәндикичә чүшинимиз: чәмбәрниң узунлуғи билән көпбулуңлуқ периметриниң айримиси, мәсилән, 0,001 дин, һәтта 0,0001 дин аз болуши мүмкин: С₁— p₁ < 0,0001). Шуниң үчүн ахирқи тәңсизликтики С₁ вә С₂ миқдарлирини p₁ вә p₂ мәналири билән алмаштурсақ, тәңсизлик бузулмайду:

Бу ахирқи формулидики p_{1 ,} p₂ периметрлирини чәмбәрниң R₁,  R₂ радиуслири билән ипадиләймиз:

R₁ =  ;      R₂ =

төңликлириниң орунлинидиғанлиғи мәлум. Бу формулилардин чәм­бәргә ичидин сизилған дурус n-булуңлуқниң а₁ вә а₂ тәрәплирини тапимиз:

                                        a₁ = 2R₁sin ,   a₂ = 2R₂sin

Мошу сәвәптин Ч₁, Ч₂ чәмбәрлиригә  ичидин сизилған Ғ_І, Ғ₂ дурус n-булуңлуңлириниң p_{1 ,} p₂ периметрлири төвәндикигә тәң: p₁ = па₁ вә p₂ = па₂, демек,

                             p₁ = 2R₁• n • sin ,   p₂ = 2R₂• n • sin,

йәни

                               = n ٠ sin ,     = n ٠ sin.

Тәңликләрниң оң тәрәплири тәң, ундақ болса, сол тәрәплириму тәң болиду:

                               = .

Бу тәңлик қарши ж,орушумизға,     тәңсизлтгигә қариму-қарши, ундақ болса

   =   тәңлиги орунлиниду. Теорема испатланди.