Функциялар

1. Айнымалы шамалар мен функциялық тәуелділіктер.

Кез келген жаратылыстану ғылымы мен техникалық білім салаларында кездесетін негізгі ұғым-шамалар ұғымы. Өлшенетін және санмен өрнектелетін нәрселердің барлығын да шама деп түсінеміз.

Қандай шама өлшенсе де, өлшеу нәтижесінде дерексіз сан шығады, ол сан өлшенетін шаманың өлшеу бірлігіне қатынасын көрсетеді. Бұл дерексіз сан берілген шаманың сандық мәні немесе мәні деп аталады.

Математикада шамаларды екі класқа бөледі: тұрақтылар және айнымалылар.

Егер шама қарастырылып отырған зерттеу жағдайында үнемі белгілі бір сандық  мәнін сақтайтын болса, ондай шама тұрақты деп аталады.

Мысалдар:

1) шеңбер ұзындығының диаметріне қатысы. Бұл қатынас барлық шеңберлер үшін бірдей, өзгермейтін шама  π = 3,14159265…;
2) ұшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180◦-қа тең,ол барлық ұшбұрыштар үшін бірдей, сондықтан бұл да тұрақты шама.  
3) 4х-20=0  теңдеуінің түбірі х=5-тұрақты шама.
Егер берілген есеп жағдайында немесе тексеріліп отырған зерттеу жағдайында шама әртүрлі

Егер берілген есеп жағдайында немесе тексеріліп отырған зерттеу жағдайында шама әртүрлі сандық мәндер қабылдайтын болса, ол шама айнымалы деп аталады.

Мысалдар:

1)  машинаның жылдамдығы;
2)  белгісіз х-тің (a,b) интервалындағы  мәні;
3)  ауаның температурасы, .т.с.с.

Математикада айнымалы шама деп дерексіз сандық айнымалыны айтады. Бұл математикалық айнымалыны символмен, мысалы, х-пен белгілейді және оған сандық мәндер береді. Егер айнымалы х-тің қабылдайтын мәндерінің   жиыны берілген  болса, айнымалы х берілген деп есептеледі. Бұл Е жиыны айнымалы х-тің өзгеру облысы деп аталады.

1-сызба

Айнымалы шамаларды геометриялық жолмен кескіндеуге болады. Ол үшін сан осін алайық (1-сызба).

а-тұрақты шама болсын. Бұл тұрақты шаманы абциссасы а санына тең А нүктесімен кескіндеуге болады. Сонымен, кез келген тұрақты шама абсциссасы сол шаманың сандық мәніне тең қозғалмайтын нүктесімен кескінделетіндігі анықталды.

Енді  х-айнымалы болсын. Сан осінің бойында өзінің орнын өзгерте алатын М нүктесі бар деп есептейік ( 2-сызба ). 

2-сызба

Айнымалы х-тің мәні  өзгергенде М нүктесінің де мәні өзгереді, ал оның абциссасы үнемі х-тің сандық мәніне тең болып отырады. Сонда М нүктесін айнымалы х-тің геометриялық кескіні деп қарауға болады. Демек, кез келген айнымалы шама абциссасы әрдайым сол шаманың сандық мәніне тең түзудің бойындағы қозғалмалы нүкте арқылы кескінделеді деуге болады.

Айнымалыны, оны кескіндейтін нүктені және ол нүктенің абциссасын бір әріппен белгілейміз. х және у арқылы белгіленген екі айнымалыны алайық. Егер олардың біреуінің  мәндері екіншісінің қабылдайтын мәндеріне тәуелді болмаса, ондай айнымалы шамалар тәуелсіз айнымалылар деп аталады.

Кез келген процесті сандық жағынан алып қарағанда бірнеше  айнымалы шамалардың өзара бірге өзгеруі деп  ұғынамыз. Процесті осылай ұғыну математикада маңызы өте зор функциялық  тәуелділік ұғымын, яғни айнымалы шамалар арасындағы байланыс  ұғымын туғызады.

Атап айтқанда, процесс заңы деп сол процесс сипаттайтын функциялық тәуелділікті атайды.

Функциялық тәуелділіктерге мынадай мысалдар келтірейік:

1)  дөңгелектің  ауданы  S сол  дөңгелектің  R  радиусына тәуелді;
2)  cos х-тің  мәні х бұрышының  мәніне тәуелді;
3)  тік бұрышты параллелепипедтің  көлемі  V  оның қырлары  а,в,с- ның ұзындықтарына тәуелді;
4)  термометрдегі  сынап бағанасының биіктігі оны қоршап тұрған ортаның температурасына тәуелді; т.с.с.

2. Функция, оның анықталу  облысы мен мәндерінің жиыны.

Айнымалы х пен у екі шаманың бір-бірімен байланысы мынадай болсын: олардың біреуіне, мысалы х-ке, өз еркімізше сандық мән берумен байланысты екінші айнымалы у-те белгілі сандық мән қабылдайтын болсын.

Анықтама. Егер қарастырылып отырған айнымалы шама х-тің әрбір мәніне белгілі заң немесе ереже бойынша айнымалы шама у-тің анықталған бір ғана мәні сәйкес келсе, айнымалы шама у айнымалы х-тің функциясы деп аталады.

Бұндағы айнымалы шама х - тәуелсіз айнымалы немесе  аргумент, ал айнымалы шама у - тәуелді айнымалы немесе функция деп аталады.

Функция былай белгіленеді: , т.с.с.

Бұндағы аргумент х-тің берілген мәні бойынша у-тің сәйкес мәні қалай табылатынын көрсететін заңды немесе ережені бейнелейді.

Аргумент х-тің қайсыбір а мәніне сәйкес  функциясының мәнін немесе функцияның а нүктесіндегі мәні деп атап,  символымен белгілейді. Мысалы , у=f (х)= х² +3 функциясының х=2  болғандағы мәні  f (2) = 2² + 3=7  болады.

Тұрақты шаманы да функцияның бір түрі деп қарауға болады.Бұнда тәуелсіз айнымалының барлық мәндеріне функцияның сәйкес келетін мәндері өзара тең болады.

Анықтама. Функция анықталған және ақырлы нақты мәндер қабылдайтын тәуелсіз айнымалының барлық мәндерінің жиыны сол функцияның анықталу облысы немесе функцияның бар болу облысы деп аталады, ал функцияның сәйкес келетін мәндерінің жиыны функция мәндерінің жиыны деп аталады.

Функцияның анықталу облысын табуға мысал келтірейік:

1.     функциясы берілген. Қарастырылып отырған f (x) функциясының мәндері аргумент х-тің мәндері мына теңсіздікті
  қанағаттандырғанда ғана анықталады.
Бұдан   болуы тиіс, яғни  аралығы функцияның анықталу облысы болады. Оны   түрінде белгілейді.

 

2.болсын. f (x) функциясы бөлшектің бөлімі нөлден өзгеше және квадрат түбір астындағы өрнектің мәні оң шама болғанда ғана анықталады, яғни  f (x) функциясының анықталу облысы (-2; 2) аралығы болады.

Функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны болғанда, функция сан түзуінің бойында анықталған немесе «минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейін анықталған» дейді де бұл аралықты  символымен белгілейді. Мысалы, у= sinx, y=x²  функциялары  аралығында анықталған. y=log₂x функциясы оң жарты осьте, яғни   аралығында анықталады.

3. Функцияның графигі.

(a,b) аралығында анықталған  y= f( x)  функциясы берілген болсын. Бұның мағынасы: (a,b)  аралығында х-тің әрбір мәніне у-тің анықталған бір ғана мәні сәйкес келеді.

Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар системасын алайық. N нүктесі (a,b)  аралығындағы абциссасы х-ке тең нүкте  болсын. Абциссалар осіне N нүктесі арқылы өтетін перпендикуляр тұрғызалық. Сонда абциссасы х-ке тең, оған сәйкес ординатасы f(x)-ке тең болатын М нүктесі тұрғызылған перпендикулярдың бойына орналасады және ондай нүкте жалғыз болады.

Сонымен  ON=x, NM=y= f( x) болады.NM кесіндісінің М нүктесін х-тің берілген мәніне сәйкес келетін f(x)-тің мәнінің геометриялық кескіні деп санаймыз.

Осы принципке сүйеніп берілген функцияның геометриялық кескінін сала аламыз.Ол кескін аргументтің қабылдайтын барлық. Ол кескін аргументтің қабылдайтын барлық мәндеріне сәйкес функцияның барлық мәндерін кескіндейтін нүктелердің  геометриялық  орны болады.

Қозғалмалы М нүктесі бұл геометриялық орын f(x)  функциясының графигі  деп аталады (3-сызба).

Анықтама. Абциссалары - аргументтің мәндері, ординаталары аргументтің мәндеріне сәйкес табылатын функцияның мәндері болатын жазықтықтағы нүктелердің жиыны функцияның графигі деп аталады.

y = f(x)  функциясының  графигін салу үшін ол функцияның аргументтің бірнеше мәндерін алып, сонан кейін аргументтің алынған мәндеріне сәйкес функцияның мәндерін  де есептеп табу керек. Сонан кейін х-пен у-тің мәндерінің мынадай таблицасын жасау керек.

Бұдан соң нүктелерін салу керек.  нүктелерін жатық қисық сызықпен қоссақ берілген функцияның графигі табылады. Нүктелерді неғұрлым көбірек алсақ, графиктің дәлдігі соғұрлым арта түседі.

Тұрақты шаманың графигі абциссалар осіне параллель түзу сызық болатыны айқын.

Функциялардың графиктерін салуға бірнеше мысалдар келтірейік.

1.  f( x) = x+1 функциясы берілсін. Оның графигін салалық. Бұл функцияның графигі – түзу сызық, өйткені аналитикалық геометрияда y= ax+b  түріндегі функцияның (a және b тұрақтылар) графигі түзу сызық болатындығы дәлелденеді.

Сондықтан аргумент х-ке 0;1 мәндерін берелік те, оларға сәйкес функцияның мәндерін тауып, мынадай таблица жасалық:

x	0	1
f( x)	1	2

Жазықтықта М₁(0, 1) және М₂ (1, 2) нүктелерін салып, оларды бастыра түзу жүргіземіз (4-сызба).

2. Мына түрде берілген функцияның графигін салу керек:

Функцияның берілу шарттары бойынша аргумент х-тің және интервалдарындағы мәндеріне сәйкес келетін функцияның мәндерінің бәрі бірдей, тұрақты сан 1-ге тең; (-1;+1)  интервалдағы х-тің мәндері үшін де функцияның мәндері тұрақты санға, -1-ге тең, ал   мәндеріне сәйкес функцияның мәндері нольге тең.

Жарты түзулердің және кесінділердің шеттеріндегі тілдер (стрелкалар) ұштық нүктелерінің қарастырылып отырған функцияның графигінің құрамына кірмейтіндігін көрсетеді (5-сызба).

3.  функциясының графигін салу керек.

х пен  -дің мәндерінің таблицасын  жасалық:

Бұдан аргумент х-тің нольден басқа барлық мәндеріне функцияның  сәйкес мәндерінің анықталғандығын көреміз, яғни х>0 болса, функцияның мәндері – 1 –ге  тең (6-сызба).

4. 

Функциясының графигін салу керек.

Аргумент  теңсіздігін қанағаттандыратын мәндеріне функцияның сәйкес мәндері төртінші координаталық бұрыштың биссектрисасымен кескінделеді, ал аргументтің  теңсіздігін қанағаттандыратын мәндері үшін функцияның мәндері параболаның екінші ширекте орналасқан бөлігімен кескінделеді. Сондықтан берілген функцияның графигі түзудің бір сәулесі мен параболаның бір бөлігінен тұрады (7-сызба).

4. Функцияның берілу тәсілдері

Функцияның берілуінің түрлі тәсілдері бар. Олардың ішіндегі ең маңыздыларына тоқталайық .

I.  Функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі.

Бұл тәсілдің мағынасын анықтаудан бұрын аналитикалық өрнек деп нені түсінетіндігімізді айта кетейік. Сандарға және айнымалы шамаларға белгілі бір тәртіп бойынша қолданылатын математикалық амалдардың (қосу, азайту, көбейту ,бөлу, дәрежелеу, түбір табу, логарифмдеу, тригонометриялық және кері тригонометриялық амалдар) жиынын аналитикалық өрнек деп түсінеміз.

Функцияның берілуінің негізгі түрі - формуламен, яғни аналитикалық түрде, берілуі. Функция бұл түрде екі айнымалы шама қатынасын аналитикалық өрнектің теңдігі арқылы береді. Шамалардың біреуі тәуелсіз айнымалы деп алынып, соның мәндеріне сәйкес екінші айнымалының- функцияның мәндері анықталады.

Мысалы:

формуласы у функциясын тиісті облысында аналитикалық түрде анықтайды.

Функция аналитикалық түрде бірнеше формуламен де берілетін жағдайлар болады. Мысалы:

Бұл формулада екі теңдік бар, бірақ х-тің бір мәніне у-тің де тек қана бір мәні сәйкес келіп отырады. Демек, бұл мысалда екі функция берілген деп түсінбеу керек, бір функцияны ғана анықтайтын екі формула бар деп түсіну қажет.

Функцияның аналитикалық тәсілмен берілуінің артықшылығы мыналарда:

біріншіден, функцияның берілуінің ықшамдығы мен тұтастығында, яғни тәуелсіз айнымалының қарастырылатын барлық мәндері үшін функцияның сәйкес мәндерін қысқа формуламен анықтауды,

екіншіден, формулада көрсетілген амалдарды мағынасыздыққа айналдырмайтын тәуелсіз айнымалының кез келген мәніне сәйкес функцияның мәндерін есептеп шығаруға болатындығы,

үшіншіден, берілген функцияны зерттегенде жоғары математиканың, анализдің аппаратымен пайдалануға болатындығы, өйткені олар функцияның аналитикалық  түрде берілуіне өте жақсы бейімделген.

Функцияның аналитикалық түрде берілуінің кейбір ыңғайсыз жақтары да бар. Олар мыналар:

a)  көрнектілігінің жеткіліксіздігі;

в) әрбір жеке жағдайда көптеген есептеулердің қажет болатындығы.

II. Функцияның таблицамен берілуі.

Функцияны оның мәндерінің таблицасы арқылы беруді функцияның таблицалық түрде берілуі деп атайды. Функцияның  таблицалық түрде берілуі деп тәуелсіз айнымалының бір қатар мәндерін және оларға сәйкес табылған функцияның мәндерін әдейі  жазып қоюды айтамыз. Мысалы: логарифмдер таблицасы, тригонометриялық және олардың логарифмдерінің таблицалары т.т. Функцяны таблицамен берудің қолайлы жағы сол, бұнда тәуелсіз айнымалының таблицадағы әрбір мәніне функцияның сәйкес келетін мәнін ешқандай өлшеу немесе есептеу амалдарын қолданбай-ақ  бірден таблицадан таба қоюға болады.

Функцияны таблицамен беру тәсілі тәжірибе жүргізу арқылы кейбір функциялық тәуелділік ізделгенде де қолданылады. Мысалы: физикалық зерттеулерде бұрын белгісіз функциялық тәуелділікті анықтау мақсатында тексеріліп отырған шамалардың - аргумент пен функцияның мәндерінің таблицасы жасалады.

Функцияның таблицалық тәсілмен берілуінің екі кемшілігі бар, олар:

1) бұл тәсілмен функцияны толығынан беруге мүмкіншілік жоқ, өйткені аргументтің мәндері таблицаға түгел енбейді. Сол себепті көбінесе аргументтің өзгеруімен байланысты функцияның өзгеру заңы таблицадан байқалмайды;
2) бұл тәсілдің екінші кемшілігі - көрнектілігінің жоқтығы.

III. Функцияның графикпен берілуі.

Бұл тәсіл бойынша айнымалы екі шаманың арасындағы тәуелділік график түрінде беріледі.Шамалар арасындағы тәуелділікті сызып көрсететін түрлі құралдар болады.

Функцияны графикпен беру тәсілі көп тараған тәсіл.

Мысалы: метеорологияда ( ауа райы және басқа да атмосфералық құбылыстар туралы ғылымдар) қысым мен уақыт арасындағы функциялық тәуелділікті графикпен бейнелейтін барограф деп аталатын өзі жазатын аспап қолданылады.

Бұл тәсіл эксперименттік жұмыстарда көбірек қолданылады.Функцияның берілуінің бұл тәсілінің басқадан артықшылығы оның көрнектілігінде, сондықтан да ол тәсіл функцияларды зерттеу ісінде аса пайдалы.

IV. Функцияны сөзбен беру тәсілі.

Функцияның сәйкестік  заңының сөзбен баяндау түрінде берілуін функцияны сөзбен беру деп аталады. Бұл тәсілді нақты мысалдармен көрсетуден бұрын бірнеше таңбалар енгізу қажет.Егер бір нақты сан х берілген болса, онан артпайтын ең үлкен бүтін санды Е(x) немесе   арқылы белгілейік. Сонда Е(x) – берілген х санының бүтін бөлігі деп аталады. Егер n- натурал сан болса, оның барлық бөлгіштерінің санын  арқылы белгілейді.

Енді бірнеше мысалдар қарастыралық:

1.  нақты сандары берілген делік. Олардың бүтін бөліктерін табу керек.

Шешу. Е(5)=5; Е(13.8)=13;  Е(π)=3; Е(-4.2)=-5; Е(1/3)=0

2. 8; 13; 25; 29 натурал сандары берілген. Олардың  әрқайсысының бөлгіштерінің санын табу керек.

Шешу.

3. 0; 1 ; 2; 4 ; 7; 9 сандары берілген. Олардың әр біреуінен факториал табу керек.

Шешу. 0!=1; 1!=1; 2!=1*2=2; 4!=1*2*3*4=24; 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040;   

9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880.

f ( n)  функциясы π санының n – ондық бөлшектің таңбасына тең екен делік. n=1,2,3,4,5,6 болған жағдайларда  f (n)  -тің сәйкес мәндерін табыңдар.

Шешу. π =3,14159265358979...

Сонда:  f (1)=1; f (2)=4; f (3)=1; f (4)=5; f (5)=9  және   f (6)=2.

Шымкент аграрлық колледжі
Орындаған: КТК9-141 тобының студенті Әуелбек Алтынай
Жетекшісі: Бедебаева Айгуль Ерсултановна

---

Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз: