Логарифмдер тарихына шолу және логарифмнің негізгі қасиеттері

XVI ғ. Ішінде алуан түрлі есептерді шешу барысында жуық есептер орындаумен байланысты жұмыстардың көлемі кенет өскен , атап айтқанда, бірінші кезекте практика жүзінде тікелей қолданылатын астрономия есептері деп аталады. Көбейту мен бөлу амалдарын орындағанда қандай зор проблемалардың туындағанын түсіну қиын емес. Сол амалдарды қосуға келтіру арқылы жарым-жартылай ықшамдамақ та болады (мысалы, 1-ден 100 000-ға дейінгі бүтін сандар квадраттарының кестесі құрылды, бұларды пайдаланып,  формуласы бойынша көбейтінділерді есептеп шығару мүмкін еді), бірақ бұның барлығы көп жеңілдік әкелмеді. Сондықтан сандарды көбейту мен бөлуді сандардың логарифмдерін қосу мен азайтуға әкеп саятын логарифмдердің табылуы , Лаплас айтқандай, математиктердің өмірін ұзарта түсті.

Логарифмдер практикаға аса шапшаң сіңісіп кетті. Логарифмдердің ойлап шығарушылар жаңа теорияны талдаумен шектеліп қойған жоқ.  Іс жүзінде қолданатын құралды да ойлап тапты, ол - логарифмдер кестесі еді, бұл болса, математиктердің еңбек өнімділігін тым көтеріп жіберді. Тіпті 1623 жылдың өзінде-ақ, яғни алғашқы кестені басып шығарғаннан кейін не бары 9 жыл өткенде ағылшын математигі Д.Гантер алғаш рет логарифмдік сызғышты ойлап шығарды, бұл кейінгі көптеген ұрпақтың жұмыс құралы болып кетті.

Логарифм деген сөз гректің   λ ο γ ο φ (сан) және α ρ ι υ μ ο φ (қатынас) деген сөздерінен туындайды да, сандардың қатынасы деп аударылады.    Логарифмдердің алғашқы кестелерін біріне-бірі байланыссыз  шотландия математигі Д.Непер (1150-1617) және швейцарлық И.Бюрги  (1552-1635) құрған болатын. Непер кестелері оның «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614ж.) және «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619ж.) деп аталатын басылып шыққан еңбектеріне енді, онда 0-ден 90⁰ –қа дейінгі 1 минут адыммен алынған бұрыштардың синустары, косинустар мен тангенстері логарифмдерінің мәндері келтірілген. Бюрги өзінің сандар логарифмдерінің кестелерін, шамасы, 1610 жылға таман дайындаған болса керек, бірақ та олар 1620 жылы жарық көрді.Непер кестелері басылып шыққандақтан, бұл ескерусіз қала берді.

Логарифмдерді ойлап шығару негізіне алынатын маңызды идеялардың бірі ол тұста белгілі болатын. Штифель (1487-1567) және көптеген басқа да математиктердің назарына геометриялық прогрессияның мүшелерін

         ...а^-3, а^-2, а^-1,1, а, а², а³, ...

Көбейту мен бөлу арифметикалық прогрессия құрайтын

       ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Көрсеткіштерді қосу мен азайтуға сәйкес келетініне назар аударды.

Алайда бұл идеяның өзі жеткілікті емес еді. Мысалы, 2 санының бүтін дәрежелерінің «торы» өте сирек; көптеген сандар «логарифмдерсіз қалды», сондықтан тағы да бір мынадай идея қажет болды: бір санына өте жуық сандарды дәрежеге шығару. Мына (10+1/10ⁿ)ⁿ  және (1+1/10ⁿ)ⁿ⁺¹ дәрежелердің n-нің үлкен мәндерінде бір-біріне жақын екенін аңғарып, Непер және Бюрги ұқсас шешім қабылдайды: Непер негіз ретінде  (1-1/10⁷)  санын, ал Бюрги  (1+1/10⁴)  санын қабылдайды.

Олардың бұдан арғы пайымдау жолдары мен есептеу схемаларын баяндап  беру қиынға соғады: олар онша оңай емес көптеген пайымдаулармен байланысты келеді және XVI ғасырдың текстері тым бұлыңғыр жазылған. негізге, Бюрги болса,

негізге ауысқанын ескертеміз.

Бұдан істің мәнісі өзгере қойған жоқ (өзіміздің білетіндей,  және сондықтан да жоғарыда көрсетілген ауыстырулардың нәтижесі логарифмде үтірдің орнын көшірумен ған байланысты), бірақ есептеулер де, кестелер де біршама ықшамдала түсті.

Сонымен, логарифмдерді ойлап тапқандар  (1-1/М)^М, М – өте үлкен сан, түріндегі дәрежелерді қарастыру тиімді деген қорытындыға келеді. Бұл тектес сандарды қарастырғанда, өзімізге белгілі е санына келеміз, ол былай анықталады:(тізбек шегінің анықтамасы III тарауға енген тарихи мағлұматарда берілген ). Логарифмнің негізі ретінде е санын қабылдау идеясына дейін аз ғана уақыт қалды. (Бюрги логарифмдері кестесінің негізі үшінші таңбаға дейінгі дәлдікпен алынған е саны да, Непер логарифмдері кестелерінің негізі 1/е санына жуық).

Ондық логарифмдердің алғашқы кестелерін (1617ж.) Непердің айтқан кеңесімен ағылшын математигі Г.Бриггс (1561-1630) құрды. Олардың көпшілігі Бриггс шығарған жуық формуланың

көмегімен табылған болатын (m мен n-нің үлкен мәндерінде ол формула жеткілікті дәл саналады). m мен n мәндерін Бриггс екі санының дәрежелері түрінде алған: өйткені   мен  есептеулерін квадрат түбірлерді біртіндеп табу мүмкін болады.

Бриггстің екінші бір идеясын пайдаланып, кейбір сандардың ондық логарифмдерінің мәндерін кестелерді пайдаланбай-ақ өзіміздің табуымызға да болады. Бүтін сан логарифмнің бүтін бөлігісан жазылған цифрлар санынан бірі кем. Сондықтан, мысалы, үш таңбаға дейінгі дәлдікпен lg2—табу үшін  цифрларының санын табу жеткілікті. Бұл онша киын емес.

Логарифмдер кестесін құрғанда у=log_ax функциясы үшін қалауымызша алынған х₀ нүктесіндегі  пен   өсімшелерінің Непер мен Бюрги тапқан арақатысы маңызды роль атқарады. Олардың өздері келтірген баяндау жолын тәптіштеп айтпай-ақ негізгі нәтижені былай өрнектеуге болады: , k- қандай да бір тұрақты. Егер логарифмдер негізі – дәреже , мұндағы n – жеткілікті сан болса, онда    болады.

 – өсімшеге нөлге ұмтылса, дифференциалдық теңдеу шығады , мұның шешімі, өзіміз білетіндей, ln_x+C функциясы болмақ. Басқаша баяндау жүйесінде  lnx₀ ең басынан-ақ   түрінде анықталады, яғни lnx₀ гиперболамен, абциссалар осімен және х=1 және х=х₀ түзілермен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы.

Логарифмдерді Дж.Непер ойлап шығарған деп айтылып жүрген себебі сол, логарифмдер екі санды салыстырудан барып шығады, олардың бірі арифметикалық прогрессияның, ал екіншісі – геометриялық прогрессияның мүшесі. Негізі е болатын логарифмдерді енгізген Спейдер, ол  ln x функциясына арналған кестені алғаш құрастырған. Көп кейін пайда болған натурал атауы сол логарифмнің табиғилығымен түсіндіріледі. Н.Меркатор осы атауды ұсынған,  ln x деген   гипербола алып тұрған аудан екенін аңғарған. Ол сондай-ақ гиперболалық деген атауды да ұсынған.

Логарифмнің негізгі қасиеттері:

2³=8 теңдігінде 3 дәреже көрсеткіш, ал 8 шығу үшін негізі екіні үш дәрежеге шығару керектігін білдіреді. Мысалы:

Анықтама: N санының а негізі бойынша логарифмі деп N саны табылатындай а санының дәреже көрсеткішін айтады. Негізі а болғандағы а санының логарифмі log_a N символымен белгіленеді.

Негізі   10 болғанда log₁₀ N=lg N - ондық логарифм деп аталады.

              е болғанда log_e M= lg M - натурал логарифм деп аталады.

Мысалы,  өрнегін негізі 5 деп алып логарифмдейміз. Логарифмнің қасиеттеріне сүйенсек, 

Логарифмнің қасиеттеріне сүйеніп логарифмді өрнектерді түрлендіреміз және логарифмдық теңдеулері мен теңсіздіктерді шеше аламыз.

Шымкент аграрлық колледжінің
 М9-161 тобының студенті: Сарсенбаев Пазылбек
Жетекшісі: Нурсеитова Айнур Пернеханқызы
Математика пәнінің оқытушысы

---

Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз: