Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері

Шымкент Аграрлық колледжі
Вф9-172 тобы студенті: Сейітхан Жансая
Жетекшісі: математика пәні мұғалімі
Зарипова Ұлжалғас

Қазақстан Республикасының білім беру саясатындағы негізгі принциптерінің бірі, ол: жеке адамның білімділігін ынталандыру және дамыту. Бұл тұрғыда Қазақстан Республикасының білім туралы заңында былай айтылған: «Білім саласындағы мемлекеттік саясаттың тұжырымдалған негізгі принциптеріне тұңғыш рет… білімділікті ынталандыру мен дамыту принципі енгізілген, сол арқылы интелектуалдық еңбектің беделін көтеруге болады».

Бүгінгі әлемде білім беру ісіндегі жоспарлаудың маңыздылығын айта келіп, Қазақстан Республикасының президенті Н.Ә.Назарбаев былай дейді: «Ұлттың бәсекеге қабілеттілігі оның білімінің көрсеткішімен белгіленеді». Шындығында қазіргі уақытта бүкіл әлемге балалардың білімділігін ынталандыру мен дамыту мәселесіне ерекше көңіл бөлінуде.

Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы сипатталады, мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Квадрат теңдеулерді шешу математикада қарастырылатын тақырыптардың қажетті бірі болып табылады.

«Квадрат теңдеулер» мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі. 

Квадрат теңдеу дегеніміз - есеп шығару барысында жаңа х² — 4х + 3=0 теңдеуі қарастырылды. Бұл теңдеудің сол жағында белгісіз айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі көпмүше, ал оң жағында нөл саны берілген бұндай теңдеу квадрат теңдеу болады.

Анықтама: ах² +вх +с =0 түрінде берілген теңдеу квадрат теңдеу деп аталады. Мұндағы а,в,с – нақты сандар және аал х-айнымалы.

Бұл теңдеудегі а-1-ші коэффициент, в-2-ші коэффициент, с- бос мүше. Егер теңдеудегі в≠0 және с≠0 болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталады. Мысалы: х²-2х-1 =0, 3х² -8х +5 =0, 2,1х² +10,2х + 0,8=0 толық квадрат теңдеулер.

Ал егер в және с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайлардағы квадрат теңдеу толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.

aх²+вх =0, мұнда c=0

ax² +c=0, мұнда в=0

ax² =0, мұнда в=0, c=0

Егер толық квадрат теңдеудегі 1-ші коэффициент 1-ге тең болса, огда ол келтірілген квадрт теңдеу деп аталады. x² +px +q =0 мұндағы p және q – кезкелген нақты сандар.

Толымсыз квадрат теңдеулердің шығарылуларын  тірек сызбалары арқылы  көрсету.

ax² +bx =0, a≠0, c=0

x(ax+b)=0  x=0,  ax+b=0  ax= -b x=-a/b  теңдеудің 2 түбірі болады.

ax²+c =0, a≠0, b=0, x² =-c/a бұл теңдеудің шешімінің үш жағдайы бар.

жағдай а және с коэффициенттерінің таңбалары бірдей болса, онда бұл теңдеудің түбірі болмайды.

жағдай. c=0 болсын, x²=0  теңдеуінің бір түбірі болады.

жағдай. а және с сандарының таңбалары қарама-қарсы болса, онда теңдеудің 2 түбірі болады.  x₁= , x₂=- .

Мысалдар қарастыру.

4x² – 9=0                            2) 3x²+5= 0

4x²=9                                    3x² = -5

x²=9/4                                   x² = -5/3

x₁=3/2 , x₂=-3/2                    түбірі жоқ

Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу.

ах²  + bх + с = 0, а ≠ 0

теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)² + 2ах • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

x_1.2=(- b ± √ b² - 4ac)/2a

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х² + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b² - 4ac = 7² - 4 • 4  • 3 = 49 - 48 = 1,

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір  болады:   

x=(- b ± √ D)/2a,       x=(-7± 1)/8;      x₁=(-7± 1)/8,     x₁=-3/4,  x₂=(-7-1)/8, x₂=-1

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в²-4ас>0, ах²+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.

б) 4х² - 4х + 1 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b² - 4ac = (-4)² - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, болғандықтан, бір ғана түбір бар болады

x=-b/2a,   x=-(-4)/2*4,    x=1/2

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, b² - 4ac = 0,

ах²  + bх + с = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады

x=-b/2a

в) 2х² + 3х + 4 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 2, b = 3, с = 4, D = b² - 4ac = 3² - 4 • 2  • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

 Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды..

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды. b² - 4ac < 0 онда   ах²  + bх + с = 0 теңдеуінің түбірі  болмайды

Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу. Келтірілген түбірлері  Виет теоремасын  қанағаттандырады.

Ол былай беріледі:                          х² + px + c = 0.                        (1)

а=1 болғанда,

x₁ x₂ = q,

x₁ + x₂ = - p

Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:

а) Егер q (1) теңдеудің  бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда  түбірлері оң болады.

Мысал,x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2  және  x₂ = 1, мұнда  q = 2 > 0 ,  p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7  және  x₂ = - 1,  мұнда q = 7 > 0  ,  p= 8 > 0.

б)  Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q <0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р >0.      

Мысал:

x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 , x₂ = 1,   мұнда  q= - 5 < 0  ,  p = 4 > 0;

x² – 8x – 9 = 0; x₁  = 9  и x₂ = - 1, мұнда q = - 9 < 0 , p = - 8 < 0.

---

Әлеуметтік желілерде бөлісіңіз: